由线段和差想到的辅助线

　　由线段和差想到的辅助线

　　1、截长补短法

　　由线段和差想到的辅助线作法可以用截长补短法来画。截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。

　　2、倍长中线法

　　如果出现图形中的中线，可以延长边上的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，构造全等三角形，则对应角对应边都对应相等，把要证的结论恰当的转移，这种辅助线的作法叫做倍长中线法。

　　3、构建三角形

　　对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。

　　由线段和差想到的辅助线例题

　　在△ABC中，AD为BC边上的中线，DE和DF分别平分∠ADB和∠ADC，求证BE+CF=EF。

　　证明：延长ED至M，使DM=DE，连接CM，MF

　　在△BDE和△CDM中，∵BD=CD，∠1=∠5，ED=MD

　　∴△BDE≌△CDM（SAS）∴CM=BE

　　∵DE和DF分别平分∠ADB和∠ADC

　　∴∠BDE=∠ADE，∠ADF=∠CDF

　　又∵∠BDE+∠ADE+∠ADF+∠CDF=180°（平角）

　　∴∠EDF=∠ADE+∠ADF=90°

　　∴∠FDM=∠EDF=90°

　　∴FM2=DF2+DM2=DF2+DE2=EF2，即FM=EF

　　在△CFM中，CM+CF＞FM

　　∴BE+CF＞EF