连续的定义

　　函数连续性的定义：

　　设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义,若

　　lim(x→x0)f(x)=f(x0),

　　则称f(x)在点x0处连续。

　　若函数f(x)在区间I的每一点都连续,则称f(x)在区间I上连续。

　　举例说明：

　　所有多项式函数都是连续的。各类初等函数，如指数函数、对数函数、平方根函数与三角函数在它们的定义域上也是连续的函数。

　　绝对值函数也是连续的。

　　定义在非零实数上的倒数函数f= 1/x是连续的。但是如果函数的定义域扩张到全体实数，那么无论函数在零点取任何值，扩张后的函数都不是连续的。

　　非连续函数的一个例子是分段定义的函数。例如定义f为：f(x) = 1如果x> 0，f(x) = 0如果x≤ 0。取ε = 1/2，不存在x=0的δ-邻域使所有f(x)的值在f(0)的ε邻域内。直觉上我们可以将这种不连续点看做函数值的突然跳跃。

　　另一个不连续函数的例子为符号函数。