高数介值定理

对于上面的u = 0，该声明也称为博尔扎诺定理。这个定理在1817年被伯纳德·博尔扎诺（Bernard Bolzano）首次证明。奥古斯丁 - 路易·柯西在1821年提供了一个证据。两者的灵感来自于对约瑟夫·路易斯拉格朗日函数的分析正式化的目标。连续函数具有中间值的想法早有起源。西蒙·斯蒂文通过提供用于构造解的十进制扩展的算法，证明了多项式的介值定理（以立方为例）。该算法迭代地将间隔细分为10个部分，在迭代的每个步骤产生一个附加的十进制数字。在给出连续性的正式定义之前，将介值作为连续函数定义的一部分。支持者包括路易斯·阿博加斯特（Louis Arbogast），没有跳跃的函数满足介值定理，并且具有尺寸对应于变量大小的增量。早期的作者认为结果是直观的，不需要证明。博尔扎诺和柯西的观点是定义一个连贯性的概念（就柯西案中的无限小数而言，在博尔扎诺案中使用实际的不平等），并提供基于这种定义的证据。